Processing math: 100%

Feixos de rectes paral·leles

Equació explícita d'un feix de rectes paral·leles

Definim el feix de rectes paral·leles a una recta $r$ qualsevol com el conjunt de les infinites rectes que són paral·leles a $r$ .

Si es fan servir equacions explícites, aleshores totes les rectes del feix tindran el mateix pendent i només diferiran en la seva ordenada a l'origen. Es pot escriure només una equació que caracteritzarà a tot el feix de la següent manera:

$y = mx + \lambda \; \text{,} \quad \lambda \in \mathbb{R}$

0,0	y = 0.75x - 3.50 y = 0.75x y = 0.75x + 3.50

Exemple 5

L'equació explícita del feix de rectes paral·leles a $y=-3x+1$ és:

$y = -3x + \lambda \; \text{,} \quad \lambda \in \mathbb{R}$

Per trobar casos particulars només hem de donar valor concrets al paràmetre $\lambda$ . Per exemple:

$\begin{array}{lll} \lambda = 0 & \quad\rightarrow\quad & y=-3x \\[1em] \lambda = 2 & \quad\rightarrow\quad & y=-3x+2 \\[1em] \lambda = 5 & \quad\rightarrow\quad & y=-3x+5 \\[1em] \lambda = -3 & \quad\rightarrow\quad & y=-3x-3 \end{array}$

Exercici 2

Troba l'equació explícita del feix de rectes paral·leles a la recta $r$ de la figura.

Solució:

$y = -2x + \lambda \; \text{,} \quad \lambda \in \mathbb{R}$
Quina de les rectes del feix passa pel punt $P$ ?

Solució:

$y = -2x + 11$
Quines de les rectes del feix tallen el triangle $\triangle{ABC}$ ?

Solució:

$y = -2x + \lambda \; \text{,} \quad \lambda \in [13,21]$

Equació implícita d'un feix de rectes paral·leles

També es poden fer servir equacions implícites per a caracteritzar un feix de rectes paral·leles:

$Ax+By+\lambda=0 \; \text{,} \quad \lambda \in \mathbb{R}$

o també

$Ax+By=\lambda \; \text{,} \quad \lambda \in \mathbb{R}$

0,0	4.00x - 1.00y = -10.00 4.00x - 1.00y = 0.00 4.00x - 1.00y = 10.00

Exercici 3

Representa gràficament la recta $r$ d'equació $3x + 7y = 21$ .

Solució:
Troba l'equació implícita del feix de rectes paral·leles a $r$ .

Solució:

$3x + 7y = \lambda \; \text{,} \quad \lambda \in \mathbb{R}$
Quina de les rectes del feix passa pel punt $P$ ?

Solució:

$3x + 7y = 10$
Quines de les rectes del feix tallen el quadrilater $\square{ABCD}$ ?

Solució:

$3x + 7y = \lambda \; \text{,} \quad \lambda \in [39,53]$

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons