Un sistema d'inequacions està format per dues o més inequacions que s'han de verificar alhora. Si les inequacions són lineals amb dues incògnites, aleshores la regió solució s'obté fent la intersecció dels semiplans solució de cadascuna de les inequacions.
S'anomena solució factible o solució viable al punt \((x,y)\) que compleix totes les desigualtats del conjunt de restriccions. La regió factible o regió solució és el conjunt de totes les solucions factibles.
Exemple 4
Volem representar gràficament la regió solució del següent sistema d'inequacions
\(\left.\begin{array}{r} x \gt 0 \\ x+y \gt 1 \\ x-y \lt 1 \\ x-2y \gt -4 \end{array}\right\rbrace\)
Per això hem de trobar la intersecció de les regions solució de les quatre inequacions.
Exercici 1
Representa gràficament la regió solució dels següents sistemes d'inequacions
| \(\left.\begin{array}{r} y \ge 0 \\ x-y \gt -1 \\ x+2y \ge 2 \end{array}\right\rbrace\) | \(\left.\begin{array}{r} x+2y \gt 0 \\ x+2y \lt 6 \end{array}\right\rbrace\) | \(\left.\begin{array}{r} x \ge 2 \\ y \ge 2 \\ x+y \le 4 \end{array}\right\rbrace\) | \(\left.\begin{array}{r} x-y \gt 1 \\ y \lt 2 \\ y \ge -1 \\ 2x-y \lt 0 \end{array}\right\rbrace\) |
Degut a que les regions solucions s'obtenen fent interseccions de semiplans, aquestes regions estan delimitades per rectes, semirectes o segments, excepte quan la intersecció és buida. Els casos posibles són
El conjunt buit \( \emptyset = \left\lbrace \right\rbrace \). En aquest cas es diu que el sistema és incompatible.
Regions amb àrea nul·la: un punt, un segment, una semirecta, una recta. Són casos extrems poc freqüents.
Regions amb àrea fitada delimitades per segments, és a dir, polígons.
Regions amb àrea no fitada delimitades per dues semirectes amb origen comú, o dues semirectes i segments, o per dues rectes paral·leles.
Es diu que un subconjunt \(S\) del pla és convex si per a qualsevol parell de punts \(P\) i \(Q\) pertanyents a \(S\) el segment recte \(\overline{PQ}\) que els uneix està inclòs a \(S\), és a dir
\(\forall P,Q \in S \quad\Rightarrow\quad \overline{PQ} \subset S \).
En cas contrari direm que el subconjunt és còncau.
En la figura següent el conjunt de l'esquerra és un conjunt convex, qualsevol segment que uneixi un parell de punts de l'interior del conjunt també serà al seu interior. Però el subconjunt de la dreta ès còncau, existeixen punts al seu interior tals que el segment que els uneix no està inclòs totalment a l'interior del conjunt.
Si el subconjunt \(S\) està delimitat per segments i semirectes, llavors es poden fer servir unes definicions alternatives, \(S\) és convex si tots els seus angles interiors són inferiors a \(180^{\circ}\) i és còncau si algun angle interior és superior a \(180^{\circ}\). A la següent figura els conjunts de l'esquerra són convexos i els de la dreta còncaus.
I si el conjunt \(S\) és un polígon, encara es pot fer servir una altra definició. \(S\) és convex si totes les seves diagonals són interiors. A la figura següent el conjunt de l'esquerra és convex i el de la dreta còncau.
Les regions solució d'un sistema d'inequacions lineals són subconjunts convexos del pla.
Segons la situació d'un punt respecte a la regió solució aquest punt pot ser:
Punt interior: totes les desigualtats del conjunt de restriccions es compleixen estrictament, és a dir sense fer servir igualtats.
Punt frontera o punt extrem: alguna desigualtat del conjunt de restriccions es compleix amb la igualtat. Si només és compleix a una desigualtat és un punt pertanyent a una aresta. Si es compleix a més d'una desigualtats és un vèrtex.
Punt exterior o solució no factible: no es compleix alguna de les desigualtats.
A la següent figura es pot veure un exemple amb punts interiors (), punts frontera () i punts exteriors ().
Els segments que limiten la regió solució s'anomenen arestes o costats i les seves interseccions vèrtexs. Els vèrtexs i els punts de les arestes que pertanyen a la regió solució es diuen punts extrems. Les regions solucions poden ser obertes o tancades respecte a cada costat o cada vèrtex depenent de si estan inclosos o no a la regió solució.
Una regió solució serà oberta respecte a una aresta si la desigualtat associada és una desigualtat estricta. En cas contrari serà tancada respecte a aquesta aresta.
Una regió solució serà tancada respecte a un vèrtex, si és tancada respecte a totes les arestes que comparteixen aquest vèrtexs. En cas contrari serà oberta respecte a aquest vèrtex.
En el exemple següent el conjunt és tancat respecte al vèrtex \(A\), però obert respecte als vèrtexs \(B\), \(C\) i \(D\)
Una regió solució és oberta si és oberta respecte a tots els seus punts extrems.
Una regió solució és tancada si és tancada respecte a tots els seus punts extrems.
A la següent figura es poden veure a l'esquerra un parell de conjunts oberts, a la dreta un parell de conjunts tancats, i al mig un parell de conjunts que són oberts o tancats depenent de l'aresta que es consideri.