Inequacions lineals amb dues incògnites

Inequacions lineals amb dues incògnites

Una inequació lineal amb dues incògnites és una inequació equivalent a una d'aquestes:

\(\begin{align} ax+by+c & \ge 0 \\ ax+by+c & \gt 0 \\ ax+by+c & \le 0 \\ ax+by+c & \lt 0 \\ \end{align}\)

Aquestes inequacions poden resoldre's gràficament. Primer es representa la recta associada \(ax+by+c=0\). Aquesta recta divideix al pla en dos semiplans i un dels dos serà la solució de la inequació. Per determinar-ne quin hi ha dos procediments:

1. Es tria un punt que no pertany a la recta i es comprova si les seves coordenades verifiquen la inequació. Si ho fan el semiplà que conté al punt triat és la solució. Si no ho fan la solució és l'altre semiplà.

Exemple 1

Volem representar gràficament el conjunt dels punts del pla que verifiquen la inequació \( 2x+3y \lt 12 \).

Primer representem la recta \( 2x+3y=12 \) a partir d'un parell de punts, per exemple el \( (0,4) \) i el \( (6,0) \). Fem servir un traç discontinu en aquest exemple perquè la inequació conté una desigualtat estricta i per tant els punts de la recta no formaran part del conjunt solució. Ara triem un punt qualsevol que no pertany a la recta, per exemple el \((0,0)\) i comprobem si verifica la desigualtat. \( 2·0+3·0 \overset{?}{\lt} 12\) En aquest cas si que la verifica, per tant la solució de la inequació és el semiplà que conté al punt \((0,0)\)

2. Es treballa amb l'equació explícita \(y=mx+n\) de la recta. Aleshores \(y \gt mx+n\) correspon al semiplà superior i \(y \lt mx+n\) correspon al semiplà inferior.

Exemple 2

Volem representar gràficament el conjunt dels punts del pla que verifiquen la inequació \( 8x-2y \le 4 \). El primer que farem és escriure la inequació en forma explícita.

\(\begin{align} 8x-2y \le 4 \quad&\Rightarrow\quad -2y \le -8x+4 \\[8pt] &\Rightarrow\quad y \ge 4x-2 \end{align}\)

Ara representem la recta \(y=4x-2\). La solució de la inequació és el semiplà superior. En aquest cas hem d'incloure també la recta perquè la desigualtat no és estricta.

1. Si la recta associada no té equació explícita és perquè és una recta vertical \(x=k\). En aquest cas \( x \gt k\) és el semiplà a la dreta i \( x \lt k\) el semiplà a l'esquerra.

Exemple 3

Si volem representar gràficament el conjunt dels punts del pla que verifiquen la inequació \( x \lt 3 \), representem la recta vertical \(x=3\), i el conjunt solució és el semiplà situat a l'esquerra de la recta.