MACS 2BATX. Límits.

\(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcc} 2x & \text{si} & x \lt 0 \\[1em] -x^2+2x & \text{si} & 0 \le x \lt 2 \\[1em] 2 & \text{si} & 2 \le x \lt 4 \\[1em] x-2 & \text{si} & x \ge 4 \\[1em] \end{array}\right. \)

En \(x=0\) la funció és contínua.

\(\displaystyle \left.\begin{array}{r} f(0)=0\\ \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=0\\ \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0 \end{array}\right\rbrace \)

En \(x=2\) la funció té una discontinuïtat de salt i només és contínua per la dreta.

\(\displaystyle \left.\begin{array}{r} f(2)=2\\ \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=0\\ \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=2 \end{array}\right\rbrace \)

En \(x=4\) la funció és contínua.

\(\displaystyle \left.\begin{array}{r} f(4)=2\\ \lim_{x\rightarrow 4^-}f(x)=2\\ \lim_{x\rightarrow 4^+}f(x)=2 \end{array}\right\rbrace \)

Exercici 2

Cada una de les funcions següents té un punt o més on no és contínua. Indica quins són aquests punts i quin tipus de discontinuïtat presenten:

En \( x=1 \) té una discontinuïtat asimptòtica.
En \( x=2 \) té una discontinuïtat evitable.
En \( x=0 \) té una discontinuïtat asimptòtica.
En \( x=-1 \) té una discontinuïtat asimptòtica.

En \(x=1\) té una discontinuïtat evitable.
e) En \( x=3 \) té una discontinuïtat de salt.
f) En \( x=1 \) té una discontinuïtat evitable.

Exercici 3

\( \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{lll} x^2+2x+k & \text{si} & x\lt 2 \\[12pt] x+1 & \text{si} & x\ge 2 \end{array}\right. \)

a) \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1} \)	b) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2} \)	c) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x}\)
d) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}\)	e) \( \displaystyle f(x)= \left\{\begin{array}{lll} x-2&\text{si}&x \lt 3 \\[12pt] x+1&\text{si}&x \ge 3 \end{array}\right. \)	f) \( \displaystyle f(x)= \left\{\begin{array}{lll} x&\text{si}&x \ne 1 \\[12pt] 3&\text{si}&x = 1 \end{array}\right. \)

Exercicis de límits (IV): Continuïtat de funcions

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3