Exercicis de límits (IV): Continuïtat de funcions

Exercici 1

Estudia la continuïtat de la funció:

\(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcc} 2x & \text{si} & x \lt 0 \\[1em] -x^2+2x & \text{si} & 0 \le x \lt 2 \\[1em] 2 & \text{si} & 2 \le x \lt 4 \\[1em] x-2 & \text{si} & x \ge 4 \\[1em] \end{array}\right. \)

en els punts \(x=0\), \(x=2\) i \(x=4\).


Solució:

Exercici 2

Cada una de les funcions següents té un punt o més on no és contínua. Indica quins són aquests punts i quin tipus de discontinuïtat presenten:

a) \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1} \) b) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2} \) c) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x}\)
d) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}\) e) \( \displaystyle f(x)= \left\{\begin{array}{lll} x-2&\text{si}&x \lt 3 \\[12pt] x+1&\text{si}&x \ge 3 \end{array}\right. \) f) \( \displaystyle f(x)= \left\{\begin{array}{lll} x&\text{si}&x \ne 1 \\[12pt] 3&\text{si}&x = 1 \end{array}\right. \)

Solució:

Exercici 3

Calcula el valor de \(k\) perquè la funció

\( \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{lll} x^2+2x+k & \text{si} & x\lt 2 \\[12pt] x+1 & \text{si} & x\ge 2 \end{array}\right. \)

sigui contínua en \(\mathbb{R}\).

Solució: