Processing math: 100%

Exercicis de límits (IV): Continuïtat de funcions

Exercici 1

Estudia la continuïtat de la funció:

$\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcc} 2x & \text{si} & x \lt 0 \\[1em] -x^2+2x & \text{si} & 0 \le x \lt 2 \\[1em] 2 & \text{si} & 2 \le x \lt 4 \\[1em] x-2 & \text{si} & x \ge 4 \\[1em] \end{array}\right.$

en els punts $x=0$ , $x=2$ i $x=4$ .

Solució:

En $x=0$ la funció és contínua.

$\displaystyle \left.\begin{array}{r} f(0)=0\\ \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=0\\ \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0 \end{array}\right\rbrace$

En $x=2$ la funció té una discontinuïtat de salt i només és contínua per la dreta.

$\displaystyle \left.\begin{array}{r} f(2)=2\\ \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=0\\ \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=2 \end{array}\right\rbrace$

En $x=4$ la funció és contínua.

$\displaystyle \left.\begin{array}{r} f(4)=2\\ \lim_{x\rightarrow 4^-}f(x)=2\\ \lim_{x\rightarrow 4^+}f(x)=2 \end{array}\right\rbrace$

Exercici 2

Cada una de les funcions següents té un punt o més on no és contínua. Indica quins són aquests punts i quin tipus de discontinuïtat presenten:

a) $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}$	b) $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}$	c) $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x}$
d) $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$	e) $\displaystyle f(x)= \left\{\begin{array}{lll} x-2&\text{si}&x \lt 3 \\[12pt] x+1&\text{si}&x \ge 3 \end{array}\right.$	f) $\displaystyle f(x)= \left\{\begin{array}{lll} x&\text{si}&x \ne 1 \\[12pt] 3&\text{si}&x = 1 \end{array}\right.$

Solució:

En $x=1$ té una discontinuïtat asimptòtica.
En $x=2$ té una discontinuïtat evitable.
En $x=0$ té una discontinuïtat asimptòtica.
En $x=-1$ té una discontinuïtat asimptòtica.

En $x=1$ té una discontinuïtat evitable.
e) En $x=3$ té una discontinuïtat de salt.
f) En $x=1$ té una discontinuïtat evitable.

Exercici 3

Calcula el valor de $k$ perquè la funció

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{lll} x^2+2x+k & \text{si} & x\lt 2 \\[12pt] x+1 & \text{si} & x\ge 2 \end{array}\right.$

sigui contínua en $\mathbb{R}$ .

Solució:

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons