Calcula el límit de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x-\sqrt{2x+3}}{x^2-9}\) quan \(x\) tendeix a \(3\).
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x-\sqrt{2x+3}}{x^2-9}}=\frac{0}{0}\)
En \(x=3\) la funció no està definida i el límit presenta una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de multiplicar i dividir per l'expressió \(x+\sqrt{2x+3}\) i després factoritzar els polinomis de segon grau.
\( \displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x-\sqrt{2x+3}}{x^2-9}} & = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{ \left( x-\sqrt{2x+3} \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right) }{ \left( x^2-9 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right) }} \\[12pt] & = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{ x^2 - \left( 2x+3 \right) }{ \left( x^2-9 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right) }} \\[12pt] & = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{ x^2 - 2x - 3 }{ \left( x^2-9 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right) }} \\[12pt] & = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{ \left( x+1 \right) · \cancel{\left( x-3 \right)} }{ \left( x+3 \right) · \cancel{\left( x-3 \right)} · \left( x+\sqrt{2x+3} \right) }} \\[12pt] & = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{ x+1 }{ \left( x+3 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right) }} \\[12pt] & = \frac{4}{6·6} \\[12pt] & = \frac{1}{9} \end{align} \)
Calcula el límit de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}\) quan \(x\) tendeix a \(2\).
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}}=\frac{0}{0}\)
En \(x=2\) la funció no està definida i el límit presenta una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de multiplicar i dividir per les expressions conjugades del numerador i per les del denominador i després factoritzar els polinomis resultants.
\( \displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}} & = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{ \left( x-\sqrt{3x-2} \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right) }{ \left( \sqrt{x+2}-2 \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right) }} \\[12pt] & = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{ \left( x^2-3x+2 \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right) }{ \left( x-2 \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right) }} \\[12pt] & = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{ \left( x-2 \right) · \left( x-1 \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right) }{ \left( x-2 \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right) }} \\[12pt] & = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{ \left( x-1 \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right) }{ x+\sqrt{3x-2} }} \\[12pt] & = \frac{1·4}{4} \\[12pt] & = 1 \end{align} \)