Les indeterminacions \(1^\infty\) apareixen quan es calculen límits de la forma \( \displaystyle \lim_{x\to a}{f(x)^{g(x)}}\), amb \( \displaystyle \lim_{x\to a}{f(x)}=1\) i \( \displaystyle \lim_{x\to a}{g(x)}=\infty\). En aquests casos es presenta un conflicte entre les regles:
\(1^k=1 \quad \left( \forall k \in \mathbb{R} \right) \)
\(a^{+\infty}=+\infty \quad \left( \text{si } a \lt 1 \right) \)
o bé entre les regles:
\(1^k=1 \quad \left( \forall k \in \mathbb{R} \right) \)
\(a^{+\infty}=0 \quad \left( \text{si } 0 \lt a \lt 1 \right) \)
Les indeterminacions \(1^\infty\) es resolen fent servir el nombre irracional \(e\) que es defineix com el límit de la successió \(\displaystyle a_n = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \)
\( \displaystyle e = \lim {\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n} = \text{2,718281828459045235360287471353... } \)
Aquesta definició també és vàlida si es canvia la successió per la funció de variable real \( \displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\) i es fa tendir la variable \(x\) a \(+\infty\)
\( \displaystyle e = \lim_{x\to +\infty} {\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x} \)
I el mateix si \(x\) tendeix a \(-\infty\)
\( \displaystyle e = \lim_{x\to -\infty} {\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x} \)
I una definició encara més general és:
\( \displaystyle e = \lim_{x\to a} {\left( 1+\frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)}} \quad\quad\text{si}\quad\quad \lim_{x\to a} {f(x)} = \infty \)
Tots els pasos per calcular aquests límits es poden resumir en una fórmula. Si \(\displaystyle\lim_{x\to a}{f(x)}=1\) i \(\displaystyle\lim_{x\to a}{g(x)}=\infty\), aleshores:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{f(x)^{g(x)}} = e^{\lim_{x\rightarrow a}{\left[g(x)·(f(x)-1)\right]}} \)
I de vegades també es pot fer servir aquesta altra fórmula equivalent:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{f(x)^{g(x)}} = e^{\lim_{x\rightarrow a}{\left[g(x)·\ln f(x) \right]}} \)