Les funcions irracionals són funcions que contenen arrels amb la variable \(x\) al radicand. Ens limitarem només a funcions que continguin arrels quadrades de funcions polinòmiques. Aquestes funcions són contínues en el seu domini, però poden aparèixer indeterminacions en els punt que no són del domini o en el infinit.
Es resolen com si fossin funcions racionals, fent comparacions amb el grau de les funcions i recordant que una arrel quadrada equival a una potència d'exponent \(\frac{1}{2}\).
Exemple 15
Calcula els límits quan \(x\) tendeix a \(+\infty\) de les funcions següents:
| a. \(\displaystyle f(x)=\frac{4x^3-2x^2}{\sqrt{x}-3} \quad\quad\quad \) | b. \(\displaystyle f(x)=\frac{5x-3}{\sqrt{4x^2+3x}} \quad\quad\quad \) | c. \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^5+2x}}{x^3-4x^2}\) |
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{4x^3-2x^2}{\sqrt{x}-3}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{4x^3}{\sqrt{x}}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{4x^3}{x^{\frac{1}{2}}}} = +\infty \)
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{5x-3}{\sqrt{4x^2+3x}}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{5x}{\sqrt{4x^2}}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{5x}{2x}} = \frac{5}{2} \)
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\sqrt{x^5+2x}}{x^3-4x^2}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\sqrt{x^5}}{x^3}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{x^3}} = 0 \)
Si la indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\) apareix en una funció del tipus:
\(\displaystyle\frac{A(x)-B(x)}{C(x)-D(x)}\)
on les funcions \(A(x)\), \(B(x)\), \(C(x)\) i \(D(x)\) compleixen que com a mínim una d'elles és una arrel quadrada d'un polinomi, aleshores la indeterminació es resol multiplicant i dividint per l'expressió conjugada de l'expressió que conté l'arrel.
Exemple 16
Calcula el límit quan \(x\) tendeix a \(1\) de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\):
Inicialment tenim una indeterminació:
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}}=\frac{0}{0}\)
que es resol multiplicant i dividint per l'expressió \(\sqrt{x}+1\).
\( \displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}} &= \lim_{x\rightarrow 1}{\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}·\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\right)} \\ &= \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{\cancel{x-1}}{\cancel{\left( x-1 \right)}·\left(\sqrt{x}+1 \right)}} \\ &= \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{1}{\sqrt{x}+1}} = \\ &= \frac{1}{2} \end{align} \)
Si la indeterminació \(\infty-\infty\) apareix en una funció del tipus:
\( A(x)-B(x) \)
on les funcions \(A(x)\) i \(B(x)\) compleixen que com a mínim una d'elles és una arrel quadrada d'un polinomi, aleshores la indeterminació es resol multiplicant i dividint per l'expressió conjugada.
Exemple 17
Calcula els límits quan \(x\) tendeix a \(+\infty\) de les funcions següents:
| a. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+3x}-x \quad\quad\quad \) | b. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3} \) |
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)}\) és una indeterminació \(\infty-\infty\)
\( \displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow +\infty}{\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)} &=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)·\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)}{\sqrt{x^2+3x}+x}} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{3x}{\sqrt{x^2}+x}} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{3x}{2x}} \\ &=\frac{3}{2} \end{align} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{\left(\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}\right)}\) és una indeterminació \(\infty-\infty\)
\( \displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow +\infty}{\left(\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}\right)} &=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\left(\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}\right)·\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}\right)}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}}} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\left(x-3\right)-\left(x+3\right)}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}}} \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{-6}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}}} \\ &=\frac{-6}{+\infty} \\ &=0 \end{align} \)