Les funcions elementals són funcions contínues en tot el seu domini. Això simplificarà el càlcul de límits, ja que si \(a\) és un punt del domini i existeixen els límits laterals en \(x=a\), aleshores coincidiran amb el valor de la funció en el punt \(a\).
Propietats de la funció potencial \(f(x)=x^n\), amb \(n\in\mathbb{N}\)Les seves propietats depenen de si \(n\) és un nombre parell o senar. Pots variar el valor de \(n\) a la gràfica del costat fent lliscar el punt taronja.
Si \(n\) és un nombre parell: \(\text{Dom} f(x) = \mathbb{R}\) \(f(x)\) és contínua \(\forall x \in\mathbb{R}\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty \quad\) (Si \(n\) és parell) |
Propietats de la funció arrel enèsima \(f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\), amb \(n\in\mathbb{R}\)Les seves propietats depenen de si \(n\) és un nombre parell o senar. Pots variar el valor de \(n\) a la gràfica del costat fent lliscar el punt taronja.
Si \(n\) és un nombre senar: \(\text{Dom}f(x) = \mathbb{R}\quad\) (Si \(n\) és senar) \(f(x)\) és contínua \(\forall x \in\text{Dom}f(x)\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty \quad\) (Si \(n\) és senar) |
Propietats de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^n}=x^{-n}\), amb \(n\in\mathbb{N}\)Les seves propietats depenen de si \(n\) és un nombre parell o senar. Pots variar el valor de \(n\) a la gràfica del costat fent lliscar el punt taronja.
Si \(n\) és un nombre parell: \(\text{Dom}f(x) = \mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\) \(f(x)\) és contínua \(\forall x \in\text{Dom}f(x)\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=+\infty \quad\) (Si \(n\) és parell) La funció presenta una asímptota vertical a \(x=0\) i una asímptota horitzontal a \(y=0\). |
Propietats de la funció exponencial \(f(x)=a^x\), amb \(a\in\mathbb{R}^+ - \{1\}\)Les seves propietats depenen de si el nombre \(a\) és major o menor que 1. Pots variar el valor de \(a\) a la gràfica del costat fent lliscar el punt taronja.
Si \(a \gt 1\): \(\text{Dom}f(x) = \mathbb{R}\) \(f(x)\) és contínua \(\forall x \in\mathbb{R}\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0\quad\) (Si \(a \gt 1\)) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\quad\) (Si \(a \gt 1\)) La funció presenta una asímptota horitzontal a \(y=0\). |
Propietats de la funció logaritme \(f(x)=\log_a x\), amb \(a\in\mathbb{R}^+ - \{1\}\)Les seves propietats depenen de si el nombre \(a\) és major o menor que 1. Pots variar el valor de \(a\) a la gràfica del costat fent lliscar el punt taronja.
Si \(a \gt 1\): \(\text{Dom}f(x) = \left(0,+\infty\right) \) \(f(x)\) és contínua \(\forall x \in\text{Dom} f(x)\) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty\quad\) (Si \(a \gt 1\)) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\quad\) (Si \(a \gt 1\)) La funció presenta una asímptota vertical a \(x=0\). |