Sigui \(f(x)\) una funció real de variable real, i sigui \(a\) un nombre real, no necessàriament del domini de la funció. Es diu que la funció \(f(x)\) tendeix a \(+\infty\) quan \(x\) tendeix a \(a\) per la esquerra, i s'escriu
si es verifica que, per a qualsevol successió \(\left\lbrace x_n \right\rbrace\) de nombres del domini de \(f(x)\) menors que \(a\) que tendeix a \(a\) la successió de les imatges \(\left\lbrace f(x_n) \right\rbrace\) tendeix a \(+\infty\).
De manera anàloga es diu que la funció \(f(x)\) tendeix a \(-\infty\) quan \(x\) tendeix a \(a\) per la esquerra, i s'escriu
si es verifica que, per a qualsevol successió \(\left\lbrace x_n \right\rbrace\) de nombres del domini de \(f(x)\) menors que \(a\) que tendeix a \(a\) la successió de les imatges \(\left\lbrace f(x_n) \right\rbrace\) tendeix a \(-\infty\).
Analògament es defineixen els límits infinits per la dreta:
Si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt \(a\) són tots dos iguals a \(+\infty\), aleshores es diu que el límit de la funció quan \(x\) tendeix a \(a\) és també igual a \(+\infty\).
Anàlogament, si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt \(a\) són tots dos iguals a \(-\infty\), aleshores es diu que el límit de la funció quan \(x\) tendeix a \(a\) és també igual a \(-\infty\).
A més, si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt \(a\) són tots dos infinits però de signe oposat, aleshores això es pot resumir dient que el límit de la funció quan \(x\) tendeix a \(a\) és igual a \(\infty\) sense especificar el signe.
Si el límit lateral per un costat quan la \(x\) tendeix a \(a\) és infinit, aleshores la funció s'aproxima a la recta \(x=a\) per aquest costat sense arribar a creuar-la en cap moment. Aquesta recta s'anomena asímptota vertical.
Exemple 3
Anem a calcular el límit de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{2x-2}\) quan \(x\) tendeix a \(1\).
La funció no està definida en \(x=1\), però fem servir successions amb nombres que tendeixin a \(1\) del domini de \(f(x)\) i calculem les seves imatges per intentar deduir el límit. Comencem amb una successió amb valors menors que \(1\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|r} x&f(x)\\ \hline \text{0,000}&\text{ -0,5000}\\ \text{0,500}&\text{ -1,2500}\\ \text{0,800}&\text{ -4,1000}\\ \text{0,900}&\text{ -9,0500}\\ \text{0,950}&\text{ -19,0250}\\ \text{0,980}&\text{ -49,0100}\\ \text{0,990}&\text{ -99,0050}\\ \text{0,995}&\text{-199,0025}\\ \text{0,998}&\text{-499,0010}\\ \text{0,999}&\text{-999,0005}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x) = -\infty \)
I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que \(1\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|r} x&f(x)\\ \hline \text{2,000}&\text{ 2,5000}\\ \text{1,500}&\text{ 3,2500}\\ \text{1,200}&\text{ 6,1000}\\ \text{1,100}&\text{ 11,0500}\\ \text{1,050}&\text{ 21,0250}\\ \text{1,020}&\text{ 51,0100}\\ \text{1,010}&\text{ 101,0050}\\ \text{1,005}&\text{ 201,0025}\\ \text{1,002}&\text{ 501,0010}\\ \text{1,001}&\text{1001,0005}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 1^+}f(x) = +\infty \)
Podem resumir els dos límits laterals amb la següent expressió:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x) = \infty \)
Exemple 4
Anem a calcular el límit quan \(x\) tendeix a \(0\) de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}\):
Fem servir primer una successió amb valors menors que \(0\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|l} x&f(x)\\ \hline \text{-1,000}&\text{1}\\ \text{-0,500}&\text{4}\\ \text{-0,200}&\text{25}\\ \text{-0,100}&\text{100}\\ \text{-0,050}&\text{400}\\ \text{-0,020}&\text{2500}\\ \text{-0,010}&\text{10000}\\ \text{-0,005}&\text{40000}\\ \text{-0,002}&\text{250000}\\ \text{-0,001}&\text{1000000}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x) = +\infty \)
I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que \(0\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|l} x&f(x)\\ \hline \text{1,000}&\text{1}\\ \text{0,500}&\text{4}\\ \text{0,200}&\text{25}\\ \text{0,100}&\text{100}\\ \text{0,050}&\text{400}\\ \text{0,020}&\text{2500}\\ \text{0,010}&\text{10000}\\ \text{0,005}&\text{40000}\\ \text{0,002}&\text{250000}\\ \text{0,001}&\text{1000000}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x) = +\infty \)
En aquest cas els dos límits laterals coincideixen. Per tant:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x) = +\infty \)
Exercici 3
Donada la funció definida a trossos:
\(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} \frac{2}{x+2} & \text{si} & x \lt -2 \\[1em] \frac{-x}{x-2} & \text{si} & -2 \le x \lt 2 \\[1em] \frac{5}{x-2} & \text{si} & x \gt 2 \end{array}\right. \),
calcula les següents quantitats:
Veure la solució:| \(\displaystyle f(-2)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}f(x)= \) |
| \(\displaystyle f(0)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)= \) |
| \(\displaystyle f(2)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x)= \) |