Exercicis de derivades IV
Exercici 1
Troba l'equació de la recta tangent a la funció \( f(x)=x^3−2x^2-2x+5 \) en el punt d'abscissa \( x_0=2 \).
Solució:
\( f(x)=x^3−2x^2-2x+5 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^2−4x^2-2 \)
\(
\left. \begin{array}{l} x_0=2 \\ y_0=f(2)=1 \\ m=f'(2)=2 \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y-1 = 2 \left( x-2 \right)
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {y = 2x-3}
\)
Exercici 2
Troba l'equació de la recta tangent a la funció \( f(x)=x^3−x^2+x-1 \) en el punt d'ordenada \( y_0=5 \).
Solució:
\( f(x)=x^3−x^2+x-1 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^2−2x^2+1 \)
\( y_0=5 \quad\Rightarrow\quad x_0^3−x_0^2+x_0-1=5 \quad\Rightarrow\quad x_0=2\)
\(
\left. \begin{array}{l} x_0=2 \\ y_0=5 \\ m=f'(2)=9 \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y-5 = 9 \left( x-2 \right)
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {y = 9x-13}
\)
Exercici 3
Troba l'equació de la recta tangent a la funció \( \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x^2} \) i paral·lela a la recta \( x+y=1 \).
Solució:
\( \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x^2} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=1-\frac{2}{x^3} \)
\( x+y=1 \quad\Rightarrow\quad y=-x+1 \quad\Rightarrow\quad m=-1\)
\( \displaystyle f'(x_0)=-1 \quad\Rightarrow\quad 1-\frac{2}{x_0^3}=-1 \quad\Rightarrow\quad x_0=1\)
\(
\left. \begin{array}{l} x_0=1 \\ y_0=f(1)=2 \\ m=-1 \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y-2 = - \left( x-1 \right)
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {y = -x+3}
\)
Exercici 4
Troba les equacions de les rectes tangents a la funció \( \displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x} \) que siguin paral·leles a la bisectriu dels quadrants primer i tercer.
Solució:
\( \displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=2-\frac{1}{x^2} \)
\(\style{font-family:'Open Sans'}{\text{Paral·lela a }} y=x \quad\Rightarrow\quad m=1\)
\( \displaystyle f'(x_0)=1 \quad\Rightarrow\quad 2-\frac{1}{x_0^2}=1 \quad\Rightarrow\quad x_0=\pm 1\)
1a solució:
\(
\left. \begin{array}{l} x_0=1 \\ y_0=f(1)=3 \\ m=1 \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y-3 = x-1
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {y = x+2}
\)
2a solució:
\(
\left. \begin{array}{l} x_0=-1 \\ y_0=f(1)=-3 \\ m=1 \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y+3 = x+1
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {y = x-2}
\)
Exercici 5
La recta tangent a la funció \( f(x)=x^3-2x^2+x+3 \) en el punt \( x_0=0 \) talla a la funció en un altre punt. Quin és aquest punt?
Solució:
\( f(x)=x^3-2x^2+x+3 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^2-4x+1 \)
\(
\left. \begin{array}{l} x_0=0 \\ y_0=f(0)=3 \\ m=f'(0)=1 \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y-3 = 1(x-0)
\quad\Rightarrow\quad y=x+3
\)
\(
x^3-2x^2+x+3=x+3 \quad\Rightarrow\quad x^3-2x^2=0 \quad\Rightarrow\quad
\left\lbrace \begin{array}{l}
x=0 \\
x=2 \quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {\left(2,5\right)}
\end{array} \right.
\)
Exercici 6
La funció \( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1} \) talla a l'eix d'abscisses en dos punts.
Determina les equacions de les rectes tangents a la funció en aquests dos punts.
Determina el punt d'intersecció de les dues rectes de l'apartat anterior.
Solució:
-
\(\displaystyle
f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1} \quad\Rightarrow\quad
f'(x)=\frac{10x}{\left( x^2+1 \right)^2}
\)
\(\displaystyle
f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad
\frac{x^2-4}{x^2+1}=0 \quad\Rightarrow\quad
x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad
x=\pm 2
\)
1a solució:
\(\displaystyle
\left. \begin{array}{l} x_0=-2 \\ y_0=0 \\ m=f'(-2)=-\frac{4}{5} \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y-0 = -\frac{4}{5} \left( x+2 \right)
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {y = \frac{-4x-8}{5}}
\)
2a solució:
\(\displaystyle
\left. \begin{array}{l} x_0=2 \\ y_0=0 \\ m=f'(2)=\frac{4}{5} \end{array} \right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad y-0 = \frac{4}{5} \left( x-2 \right)
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue] {y = \frac{4x-8}{5}}
\)
-
\(\displaystyle
\frac{-4x-8}{5}=\frac{4x-8}{5}
\quad\Rightarrow\quad x=0
\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{8}{5}
\quad\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid blue]{\left( 0,-\frac{8}{5} \right)}
\)