MACS 2BATX. Exercicis de derivades.

Calcula la derivada de la funció \(f(x)=x^2+3x-2 \) en el punt \( x_0=3 \) fent servir la definició.

\(\displaystyle \begin{align} f'(3) &=\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{f(x)-f(3)}{x-3}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x^2+3x-2-16}{x-3}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x^2+3x-18}{x-3}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{\cancel{(x-3)}(x+6)}{\cancel{x-3}}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 3}{(x+6)} \\[5pt] &=9 \end{align} \)

Exercici 2

Calcula la derivada de la funció \(f(x)=x^3+3x \) en el punt \( x_0=1 \) fent servir la definició.

\(\displaystyle \begin{align} f'(1) &=\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{x^3+3x-4}{x-1}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{\cancel{(x-1)}(x^2+x+4)}{\cancel{x-1}}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 1}{(x^2+x+4)} \\[5pt] &=6 \end{align} \)

Exercici 3

Calcula la derivada de la funció \(f(x)=x^3+2x^2-3x-4 \) en el punt \( x_0=-2 \) fent servir la definició.

\(\displaystyle \begin{align} f'(-2) &=\lim_{x\rightarrow -2}{\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow -2}{\frac{(x^3+2x^2-3x-4)-(2)}{x+2}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow -2}{\frac{x^3+2x^2-3x-6}{x+2}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow -2}{\frac{\cancel{(x+2)}(x^2-3)}{\cancel{x+2}}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow -2}{(x^2-3)} \\[5pt] &=1 \end{align} \)

Exercici 4

Calcula, si és possible, la derivada de la funció \(\displaystyle f(x)=\sqrt{2x+1} \) en el punt \( x_0=4 \) fent servir la definició.

\(\displaystyle \begin{align} f'(4) &=\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{f(x)-f(4)}{x-4}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{\left(\sqrt{2x+1}-3\right)·\left(\sqrt{2x+1}+3\right)}{\left(x-4\right)·\left(\sqrt{2x+1}+3\right)}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{2x+1-9}{\left(x-4\right)·\left(\sqrt{2x+1}+3\right)}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{2x-8}{\left(x-4\right)·\left(\sqrt{2x+1}+3\right)}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{2·\cancel{\left(x-4\right)}}{\cancel{\left(x-4\right)}·\left(\sqrt{2x+1}+3\right)}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{2}{\sqrt{2x+1}+3}} \\[5pt] &= \frac 1 3 \end{align} \)

Exercici 5

Calcula, si és possible, la derivada de la funció \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x-3} \) en el punt \( x_0=3 \) fent servir la definició.

\(\displaystyle \begin{align} f'(3) &=\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{f(x)-f(3)}{x-3}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{\sqrt{x-3}-0}{x-3}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{1}{\sqrt{x-3}}} \\[5pt] &=\infty \end{align} \)

La funció \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x-3} \) no és derivable en el punt \( x_0=3 \). En aquest punt la recta tangent és una recta vertical.

Exercici 6

Calcula, si és possible, la derivada de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) en el punt \( x_0=2 \) fent servir la definició.

\(\displaystyle \begin{align} f'(2) &=\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{\displaystyle\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{\displaystyle\frac{2-x}{2x}}{x-2}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{-1·\cancel{(x-2)}}{2x·\cancel{(x-2)}}} \\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{-1}{2x}} \\[5pt] &=-\frac{1}{4} \\[5pt] \end{align} \)

Exercici 7

Calcula, si és possible, la derivada de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) en el punt \( x_0=0 \) fent servir la definició.

\(\displaystyle \nexists f(0) \quad\Rightarrow\quad \nexists f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \)