Exercicis de derivades I
Exercici 1
Calcula la variació mitjana de la funció \( f(x)=x^3+x \) en els intervals \([-2,0]\), \([1,3]\) i \([4,6]\). En quin dels intervals creix més ràpidament?
Solució:
\( \displaystyle
\left( \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \right)_{\left[ -2,0 \right]} =
\frac{f(0)-f(-2)}{0-(-2)} =
\frac{0-(-10)}{2} =
5
\)
\( \displaystyle
\left( \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \right)_{\left[ 1,3 \right]} =
\frac{f(3)-f(1)}{3-1} =
\frac{30-2}{2} =
14
\)
\( \displaystyle
\left( \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \right)_{\left[ 4,6 \right]} =
\frac{f(6)-f(4)}{6-4} =
\frac{222-68}{2} =
77
\)
En l'interval \([4,6]\) la funció creix més ràpidament.
Exercici 2
Demostra que la variació mitjana de la funció \( f(x)=-3 \) és constant independentment de l'interval \( [x_1,x_2] \) considerat.
Solució:
\( \displaystyle
\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} =
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} =
\frac{(-3)-(-3)}{x_2-x_1} =
\frac{0}{x_2-x_1} =
0
\)
Exercici 3
Demostra que la variació mitjana de la funció \( f(x)=4x-2 \) és constant independentment de l'interval \( [x_1,x_2] \) considerat.
Solució:
\( \displaystyle
\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} =
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} =
\frac{(4x_2-2)-(4x_1-2)}{x_2-x_1} =
\frac{4x_2-4x_1}{x_2-x_1} =
\frac{4·\cancel{(x_2-x_1)}}{\cancel{x_2-x_1}} =
4
\)
Exercici 4
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció \( f(x) = x^2+2x-2 \) en l’interval \([−2, 2]\) i
l’equació de la recta secant a la gràfica que passa pels punts d’abscisses \( x = −2 \) i \( x = 2 \).
Solució:
Taxa de variació mitjana:
\(\displaystyle
\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \frac{6-(-2)}{4} = 2
\)
Recta secant:
Fem servir l'equació punt-pendent.
\( y-y_0 = m \left( x-x_0 \right) \)
El pendent \(m\) coincideix amb la taxa de variació mitjana i com a punt \( \left( x_0, y_0 \right) \) podem triar qualsevol dels dos punts coneguts de la funció, per exemple \( \left( 2, 6 \right) \).
\( y-6 = 2 \left( x-2 \right) \Rightarrow y=2x+2\)