Es diu que una funció \(f(x)\) és derivable en un punt \(x_0\) si existeix la derivada de la funció en aquest punt.
\(f(x)\) derivable en \(x_0\) \(\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \exists f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)
Degut a la definició de derivada en un punt, una condició necessària per a la seva existència és que existeixi la funció
S'anomena funció derivada de \(f(x)\), i s'escriu \(f'(x)\) a la funció que assigna a cada valor de \(x\) el valor de la seva derivada.
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \)
Exemple 4
La derivada de la funció \(f(x)=x^2+3x-5\) és:
\(\displaystyle \begin{align} f'(x) &=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\[4pt] &=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(x+h)^2+3(x+h)-5-\left(x^2+3x-5\right)}{h}}\\[4pt] &=\lim_{h\rightarrow 0}{ \frac{\cancel{x^2}+2xh+h^2+\cancel{3x}+3h-\cancel{5}-\cancel{x^2}-\cancel{3x}+\cancel{5}} {h}}\\[4pt] &=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\cancel{h}(2x+h+3)}{\cancel{h}}}\\[4pt] &=\lim_{h\rightarrow 0}{(2x+h+3)}\\[4pt] &=2x+3 \end{align} \)
El domini d'una funció derivada \(f'(x)\) és el conjunt de valors de \(x\) pels quals la funció \(f(x)\) és derivable. Una condició necessària per a l'existència de la derivada en un punt \(x_0\) és que la funció estigui definida a \(x_0\). Per tant:
\( \exists f'(x_0) \quad\Rightarrow\quad \exists f(x_0) \)
\( \text{dom}\;f' \subset \text{dom}\;f \)
Es diu que una funció \(f(x)\) és derivable si és derivable en tots els punts del seu domini, és a dir si \( \text{dom}\;f' = \text{dom}\;f \)
Altra condició necessària per a l'existència de la derivada en un punt \(x_0\) és que la funció sigui contínua a \(x_0\). És a dir:
\(f(x)\) derivable en \(x_0 \quad\Rightarrow\quad f(x)\) contínua en \(x_0\)
\(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow x_0}{\left(f(x_0)-f(x)\right)} &=\lim_{x\rightarrow x_0}{\left(\frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0}·(x-x_0)\right)}\\[4pt] &=\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0}}· \lim_{x\rightarrow x_0}{(x-x_0)}\\[4pt] &=f'(x_0)·0\\[4pt] &=0 \end{align} \)