Es defineix la derivada d'una funció \(f(x)\) en un punt \(x_0\) com el límit de la variació mitjana de la funció \(f(x)\) en l'interval d'extrems \(x\) i \(x_0\) quan el punt \(x\) tendeix a \(x_0\).
\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\)
Si es defineix \(h \equiv x-x_0\), aleshores quan \(x\) tendeix a \(x_0\) \(h\) tendeix a \(0\), i aleshores també es pot definir la derivada de la següent manera:
\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\)
Exemple 2
La derivada de la funció \(f(x)=4x-x^2\) en el punt \(x_0=1\) és:
\(\displaystyle \begin{align} f'(1) &= \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} \\[4pt] &= \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{4x-x^2-3}{x-1}} \\[4pt] &= \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{-x^2+4x-3}{x-1}} \\[4pt] &= \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{-\cancel{(x-1)}(x-3)}{\cancel{x-1}}} \\[4pt] &= 2 \end{align} \)
Exercici 2
Calcula la derivada de la funció \(\displaystyle f(x)=x^3-2x\) en el punt \(x_0=3\)
Solució:S'anomena recta tangent en un punt \(P\) d'una corba a la recta que s'obté traçant la secant entre \(P\) i un altre punt \(Q\) auxiliar sobre la corba i fent que \(Q\) tendeixi a \(P\).
Aleshores la derivada d'una funció \(f\) en un punt \(x_0\) coincideix amb el pendent de la recta tangent a la gràfica de \(f\) en el punt \((x_0,f(x_0))\).
\(\displaystyle f'(x_0)=m=\tan\alpha\)
A la pràctica es fa sevir aquest fet per a calcular la recta tangent emprant l'equació punt-pendent de la recta que passa pel punt d'abscissa \(x_0\) i ordenada \(y_0=f(x_0)\) i amb pendent \(m=f'(x_0)\).
\(\displaystyle \left. \begin{array}{l} x_0 \\ y_0=f(x_0) \\ m=f'(x_0) \end{array} \right\rbrace \quad\Rightarrow\quad y-y_0 = m·(x-x_0) \)
Exemple 3
La recta tangent a la funció \(f(x)=4x-x^2\) en el punt \(x_0=1\) del exemple anterior és:
\(\displaystyle y-y_0 = m·(x-x_0) \quad\Rightarrow\quad y-3=2·(x-1) \quad\Rightarrow\quad y=2x+1 \)
Exercici 3
Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció \(f(x)=x^2+3x+5\) en el punt \(x_0=-2\).
Solució: