La taxa de variació o increment d'una funció \(f(x)\) en un interval \(\left[ x_1 , x_2 \right]\) és l'augment o disminució que experimenta la funció en passar la variable independent del valor \(x_1\) al valor \(x_2\).
\( \Delta f(x) = y_2-y_1 = f(x_2)-f(x_1) \)
S'anomena taxa de variació mitjana d'una funció \(f(x)\) en un interval \(\left[ x_1 , x_2 \right]\) o quocient incremental a la variació relativa de la funció respecte a la variable independent:
\( \displaystyle \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \)
La variació mitjana de la funció \(f(x)\) en l'interval \([x_1,x_2]\) coincideix amb el pendent de la recta que uneix els punts \(\left(x_1,y_1\right)\) i \(\left(x_2,y_2\right)\). Aquesta recta rep el nom de recta secant.
Exemple 1
La variació mitjana de la funció \(f(x)=x^2-x+1\) en l'interval \(\left[ 1,3 \right)\) és:
\(\displaystyle\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{7-1}{3-1}=3\)
La recta que passa pels punts \((1,1)\) i \((3,7)\) és \(y=3x-2\). El seu pendent és \(3\).
Exercici 1
Donada la funció \(\displaystyle f(x)=x^3-4x\), calcula la variació mitjana en els intervals \([-2,2]\) i \([2,4]\)
Solució: